我们构造了一个具有量规-轴子耦合的全息超流体。取决于是否耦合是正或负，系统显示在其正常状态下的金属或绝缘行为。该系统的一个重要特征是在一定参数范围内交流电(AC)电导率出现中红外峰。这个峰值是由于显式对称破缺(ESB)和自发对称破缺(SSB)之间的竞争而产生的，这导致了伪goldstone模式的存在。此外，观察到低频交流电导率的下降，源于SSB Goldstone模式的激发。在超流体阶段，只有在存在强动量耗散的情况下，规范-轴子耦合对冷凝或超流体能隙的影响才会被放大。值得注意的是，在负量规-轴子耦合的情况下，在低频处观察到类似硬间隙的行为，在中频处观察到明显的峰值，这表明超流体组分的演化与正耦合的演化不同。
AdS/CFT对应关系是弱耦合经典引力理论与强耦合量子场理论(QFT)之间的纽带[1,2,3,4]。这种对应关系揭示了强耦合量子多体系统的一些普遍性质，并为诸如无准粒子激发的输运性质、超导新机制和量子相变(QPTs)等现象提供了重要见解。这些成就是该领域的重要里程碑。
输运性质是强耦合量子多体系统的重要特征。在全息框架中，对输运性质进行了广泛的研究，如[5,6,7,8,9]和其他地方所述。值得注意的是，动量耗散作为一种机制的引入已经导致在模拟更现实的系统方面取得了重大进展。该机制消除了全息系统零频率下电导率的-函数，且无动量耗散。它已被应用于研究奇怪金属的行为[10,11,12,13,14]，共相干和非共相干金属的机制[15,16]，以及qpt的实现[17,18,19]。
空间线性相关的标量场，称为轴子场，提供了一种简单但重要的动量耗散机制[20]。在此全息框架中，当动量耗散较弱时，可以使用该轴子模型实现标准的德鲁德金属。随着动量耗散的增加，系统过渡到非相干相位[15,16]。值得注意的是，当我们根据对偶场论的化学势进行测量时，即系统处于大正则系综中，最简单的没有高导数项的四维全息轴子模型的直流(DC)电导率，如[20]所研究的，是一个不消失的常数，与温度无关。此外，该全息对偶体系的直流电导率存在一个下界[21]。因此，在全息轴子模型中不存在金属-绝缘体跃迁(MIT)。
在有效全息低能量理论的精神下，研究轴子场的高导数项的影响是很自然和有趣的[22,23,24,25,26]。最近的研究表明，具有高导数项的全息有效理论可以打破通常轴子模型中直流电导率的下界[20]。这提供了一个框架来模拟零温度下直流电导率消失的绝缘状态，这更符合实际系统。此外，高导数项对电荷扩散的下界有显著影响[24]，而其上界和能量扩散的边界不受影响[26]。
高导数轴子模型可分为两大类[22,24]:
模型:
（1)
发现这种耦合对背景没有影响，因此有一个解析背景，即具有轴子的Reissner-Nordstr?m-AdS (RN-AdS)黑洞解[20]。但它进入了微扰方程，显著影响了模型的输运性质。
模型:
(2）
与模型相比，耦合项对背景解和微扰方程都有影响。然而，该理论仍然存在一个解析黑洞解[22]。
在上述两个动作中，量规场与上述两个动作中的场强相关联。另外，我们定义，其中
（3）
其中I取x和y的值。其中，表示一对空间线性轴胞场，具体为()。和分别是耦合常数。
进一步的研究表明，在上述模型中，显式对称破缺(ESB)和自发对称破缺(SSB)可以同时出现[25,27,28,29,30,31]。SSB与低能量描述中称为戈德斯通模式的无间隙激发有关。在SSB的主导地位超过ESB的情况下，出现了一种称为伪goldstone模式的新模式。关于全息术中的伪戈德斯通物理，请参阅最近的综述[32]，该综述对过去十年来在该领域取得的重大进展进行了全面总结。
然后，构建了具有耦合的全息超流体模型，并对其超流体性质进行了探讨[33]。在超流体阶段，耦合起着关键作用，导致低频电导率出现更明显的间隙。此外，我们还广泛地探讨了规范场、轴子场和复标量场之间的破缺平移和各种耦合的综合效应。本文将研究模型的电导率特性。在此基础上，我们构建了一个具有耦合的全息超流模型，并进一步探讨了其超流特性。
这项工作的结构概述如下。在第2节中，我们构建了一个包含轴子场高导数项的全息模型，以实现动量松弛。第3节给出了正常状态下直流和频率相关电导率(交流电电导率，交流电导率)的数值计算，以及对仪表-轴子耦合影响的分析。第4节致力于探索高导数项对超流体相冷凝和电导率的影响。最后，我们在第5节中对所获得的结果进行了总结和讨论，从而对本文进行了总结。
提出了一种有效的广义耦合全息超流体模型，其作用由式给出
（4）
式中，、和分别表示麦克斯韦场、支持超流体相的带电复标量场和轴子场的拉格朗日密度:
(5) (6) (7)
在上述动作中，我们将带电标量场分解为实标量场和st
ckelberg场，表示为。参数M对应于标量场的质量。为简单起见，我们在随后的分析中采用了该规范。
我们假设动作中的耦合函数的形式为:，和。其中，，n，和表示高导数耦合的相应参数。值得注意的是，它表示模型中耦合的泛化(Eq.(2))。
由(4)得到运动方程为:
(8) (9) (10)
和
（11）
为了对上述方程进行数值求解，采用以下方法是有利的:
(12) (13) (14)
在哪里和。在本文中，我们将确保符合Breitenlohner-Freedman (BF)界。值得注意的是，函数U1和仅依赖于径向坐标u。此外，我们将其解释为化学势和动量耗散强度。通过在视界处施加边界条件，系统的霍金温度可以表示为:
（15）
对于给定的耦合参数，系统可以用无因次量和。为了简化符号，我们将在本文的其余部分继续使用速记来表示无因次量。
文献[22]对正相直流电导率的特性进行了广泛的研究。然而，在这种情况下对交流电导率的研究仍然缺乏。因此，在本节中，我们的主要重点将放在研究正相中交流电导率的特性上。为了提供全面的分析，我们还将简要回顾直流电导率。
在继续之前，我们将分析标量场在AdS边界附近的渐近行为，以解释这两项在拉格朗日密度中的作用。该分析与之前的研究(如[25,30,31,34,35,36,37,38,39])中的类似方法密切相关。当我们只关注第二项X时，UV边界处的渐近展开可以描述为[30]
（16）
根据标准量化，将首阶项识别为对偶标量算子的外部源，并具体遵循特解(14)的行为。它扮演ESB的角色，负责场论方面的动量松弛。
当只有第一项存在时，在UV边界处，标量场可表示为[30]:
（17）
在这种情况下，子序对应于非零期望值，其中源项消失[25]。它遵循特解(14)的行为，即。这个术语起着自发的平移断裂的作用，导致在低能描述中被称为戈德斯通模式的无间隙激发的出现。
图1
不同耦合参数下直流电导率的变化规律。左图显示了在保持动量耗散强度的情况下，不同计轴耦合参数下直流电导率的温度行为。右图显示了在固定温度下不同值的直流电导率的函数
通过操纵这个模型中的耦合，我们可以很容易地实现各种形式的对称破缺。当in的第一项大于第二项时，翻译在系统中是显式的但弱破碎的。换句话说，翻译的破坏主要是明确的，但不是完全的。从场论的角度来看，当一个自发破缺对称性只是近似时，系统中会出现一个微小的间隙，导致伪goldstone模的存在。值得注意的是，它控制着SSB，同时在我们的设置中控制着ESB和SSB。
接下来，我们将分别研究正常状态下的直流电导率和交流电导率。
我们可以利用广泛使用的“膜范式”[40,41,42,43]来解析推导直流电导率的表达式，该表达式依赖于红外几何数据。这种方法的核心思想是建立一个径向守恒的电流，将视界和边界的数据连接起来。基于这一点，我们可以利用层位数据计算相应双边界系统的直流电导率，得到如下结果:
（18）
利用式(18)，我们研究了高导数轴子项对直流电导率的影响。值得注意的是，量规-轴子耦合必须满足约束条件，如零能量条件(NEC)和粒子-涡旋二象性[22,24]。
在图1的左图中，我们给出了在保持恒定动量耗散强度的情况下，不同的量规-轴子耦合参数对直流电导率的温度依赖性。在测量-轴子耦合参数的情况下，系统简化为轴子模型[20]，直流电导率与温度无关。然而，当我们引入非零量规-轴子耦合()时，直流电导率变得依赖于温度，如[22]所观察到的。具体来说，直流电导率随温度的降低而增加，表明双体系具有金属性质。相反，对于，直流电导率表现出相反的温度依赖性，表明绝缘行为。值得注意的是，动量耗散的强度不能在给定的情况下诱导出MIT。这种模式与具有非线性麦克斯韦场的全息轴子模型[44,45]或具有轴子的全息Horndeski理论[46,47,48]中观察到的模式非常相似。然而，它与全息EMAW (einstein - maxwell - axial -Weyl)理论[18,49]的情况不同，在EMAW理论中，动量耗散的强度可以诱导给定Weyl耦合参数的MIT。
在图1的右图中，我们给出了直流电导率作为不同值下零温度下动量耗散强度的函数。值得注意的是，很明显，对于给定的直流电导率，随着增加而降低。此外，一个有趣的观察是，在大动量耗散的极限，特别是在，直流电导率趋于零。
图2
在正常状态下的交流电导率行为。红点表示用式(18)计算的直流电导率对应值。
为了计算交流电导率，将使用下列形式的随时间变化的线性化扰动
（19）
这意味着有三个线性化的运动方程:一个用于度量场，另一个用于规范场，第三个用于标量场。麦克斯韦场在边界附近的渐近行为可以表示为:
(20)
根据全息字典，电导率可表示为:
（21）
随后，我们可以在视界处采用入边界条件，对微扰方程进行数值求解。这样，我们可以从式(21)中提取电导率。
图2显示了交流电导率的实部和虚部的行为和在温度下的变化。在高频区域，实部趋于统一，而虚部趋于零，表示与UV不动点相关的普遍行为。然而，在低频区域，我们观察到有趣和新颖的特征，这将是我们后续分析的主要焦点。
图3
对于给定的(从左到右，和)不同值的温度的冷凝函数。我们在这里设置
当关闭测量-轴子耦合时，即，我们的模型简化为简单的全息轴子模型[20]。从图2(绿色虚线表示)中可以明显看出，在低频率下出现典型的德鲁德峰。然而，随着增加，这个德鲁德峰值逐渐减少，并几乎消失。这种行为表明动量耗散的强度诱导了从相干金属相到非相干金属相的转变。这一观测结果与预期一致，因为对于较小的动量耗散，系统的总动量近似守恒，从而产生典型的德鲁德行为[50,51,52,53]。随着动量耗散强度的增加，总动量的近似守恒被打破，导致Drude行为的破坏[15,16]。这些特征已经在先前的研究中得到了令人信服的证明[15,16,20,33,45]。
图4
对于给定的(从左到右，和)不同值的温度的冷凝函数。我们在这里设置
图5
冷凝物随温度的变化而变化。我们在这里设置
图6
电导率的实部和虚部表示为，作为频率的函数绘制，固定和变化时的值不同。左边的面板显示电导率的实部，而右边的面板显示电导率的虚部
当我们考虑到计轴耦合时，交流电导率表现出有趣的行为。回顾在我们的模型中，动量耗散强度同时控制ESB和SSB，而仅控制SSB。根据这一观察，我们注意到耦合的作用类似于[33]中的耦合。图2描述了和的各种组合的交流电导率随频率的变化。值得注意的是，对于某些值和(如图2第二行蓝色曲线所示)，在中红外(中红外)范围内出现了一个明显的峰。该中红外峰归因于SSB和ESB之间的相互作用，导致了伪戈德斯通模式的出现[25,31,33]，这有助于这种行为的有趣性质。此外，在为正的情况下，我们观察到，随着或的增加，低频峰值会降低，但不会转变为下降。然而，当变为负值时，在较大的值或绝对值下，低频交流电导率出现下降，这决定了SSB。从现象学上讲，这种下降可以解释为涡状行为的指示[7,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64]。理论上，这种类似漩涡的行为可以归因于SSB的Goldstone模态产生的激励[31]。
摘要
1 介绍
2 全息f
ramework
3.有限公司
正相电导率
4 超流体阶段
5 有限公司
结论和讨论
数据可用性声明
参考文献
致谢
作者信息
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在本节中，我们将在我们的全息有效理论中研究超流体状态的特征。先前的研究[65,66,67,68,69,70]探讨了动量耗散的影响。因此，我们的重点将主要放在理解麦克斯韦场、轴子场和复标量场之间的相互作用如何影响超流体状态下冷凝的形成和交流电导率的性质上。
我们首先通过使用ansatz(12)数值求解运动方程(8)-(11)来研究冷凝的性质。在该系统中，影响凝结的参数有6个:动量耗散强度、量规-轴子耦合参数和、量规参数、耦合参数n和电荷q。量规耦合、耦合参数n和电荷q的影响在前人的著作(如[33,71,72])中得到了广泛的研究。为简单起见，在本研究中，我们设置，和。因此，我们将系统地探讨其余三个参数对冷凝的影响。
我们说明冷凝的行为作为温度的函数，温度归一化为临界温度。相应的结果如图3、4、5所示。首先，在保持参数关闭的情况下，我们探讨了动量耗散和测量-轴子耦合对凝结的综合影响。在图3中，我们观察到冷凝值随着增大而减小。对于弱动量耗散，凝结变化相对较小。即使动量耗散增加到1，其影响仍然不大。然而，随着动量耗散的增强，影响变得更加明显。也就是说，在弱动量耗散时，对凝结的影响被抑制，而在强动量耗散时，对凝结的影响大于动量耗散。
此外，我们研究了在不同动量耗散强度下置零时耦合的影响，如图4所示。的影响也呈现出类似的趋势。在强动量耗散时，其作用大于动量耗散，而在弱动量耗散时，其作用被抑制。
此外，在隔离动量耗散影响的同时，我们在图5中探讨了耦合和的综合影响。固定时，我们观察到凝结值随着增大而减小。值得注意的是，随着正极的增加，凝结的运行范围比负极的变化更大。
我们按照3.2节中描述的正常状态下的程序来计算超流体相的电导率。在这种情况下，我们将重点关注三个耦合参数(，，)对交流电导率的影响，类似于上一小节中对冷凝的分析。
首先，我们研究了动量耗散()和仪表耦合()对温度下交流电导率的综合影响。图6显示了交流电导率的实部和虚部随频率的函数。
当在中等动量耗散水平()下评估压力表耦合时，间隙的存在随着减小而变得越来越明显，尽管影响仍然很小。当我们增加到1时，影响变得更强，但仍然相对较小。然而，随着动量耗散的增强，影响变得更加明显。对于负值，在低频出现类似硬间隙的行为，在中频出现一个突出的峰值，表明与正值相比，超流体成分有明显的发展。值得注意的是，在[33]探索的模型中没有观察到这些特征，包括硬间隙样行为和明显的峰值。定量上，在弱动量耗散(或1)下，超流体能隙随着增大而略有增大。而对于强动量耗散()，超流体能隙随着减小而明显变宽(见图6和表1)。因此，我们观察到，在强动量耗散情况下，耦合的作用更为显著。这一发现与图4中对凝结的观测结果一致。综上所述，的效果取决于动量耗散的强弱。这种效应可以归因于拉格朗日密度的第一项，其中和之间的相互作用导致了相互增强的结果。此外，我们特别观察到，当接近一个固定点时，与对偶场理论在正相中成为绝缘子的点重合，能隙达到最大值。有趣的是，这意味着在绝缘状态下，间隙以及由此产生的相互作用的耦合变得明显更强。这一发现有力地表明，绝缘状态是强相互作用占主导地位的结果。此外，我们想强调的是，在图6的左下角面板中观察到的定义明确的中红外峰缺乏已知的机制。对该模型进行准正态模式分析可以为更好地理解这些中红外特征提供有价值的见解。我们计划在未来的调查中使用这种分析。
在分析动量耗散()和耦合()的综合效应时，也可以得出类似的结论(见图7和表2)。但是，值得注意的是，由于我们被约束在该区域，因此我们没有观察到与耦合时一样明显的峰值。
表1不同和at时的超流体能隙
图7
电导率的实部和虚部表示为，作为频率的函数绘制，固定和变化时的值不同。左边的面板显示电导率的实部，而右边的面板显示电导率的虚部
我们通过引入广义耦合扩展了一个有效的全息超流体模型的研究。系统在正常状态下表现出金属或绝缘行为，这取决于耦合参数是正还是负。值得注意的是，在高动量耗散的极限下，直流电导率趋于零，表现出理想的绝缘性能。
然后，我们分析了正常状态下交流电导率的特性，其中引入了测量-轴子耦合，揭示了几个有趣的现象。对于和的某些值，与[33]研究的模型类似，出现了一个有趣的中红外峰。这个中红外峰的形成可以归因于SSB和ESB之间的相互作用，从而产生伪戈德斯通模式。此外，在正值的情况下，我们观察到，当或增加时，低频峰值减弱而不形成倾角。然而，当变为负值时，如果控制SSB的任意一个或绝对值较大，则低频交流电导率会出现下降。这种下降可以在现象学上解释为涡状现象，之前在[7,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64]中提到过。理论上，这种涡状模式可归因于SSB的Goldstone模态所产生的激励[31]。
表2不同和at时的超流体能隙
我们进一步探讨了广义规范耦合对超流体行为的影响。在中等动量耗散的情况下，凝结对表耦合的响应只有轻微的变化。然而，当动量耗散变得更强时，压力表联轴器的影响变得更加明显。因此，我们观察到，在动量耗散加剧的情况下，规范耦合发挥更大的影响。
研究了超流体相的交流电导率。在动量耗散较轻的情况下，超流体能隙随着表耦合的增加而略有扩大。而在动量耗散较强的情况下，随着规范耦合的减小，间隙明显增大。这一观测结果与凝结现象非常吻合。重要的是要强调，在负的情况下，明显的特征以低频的硬间隙行为和中频的明显峰值的形式出现。这表明，负向超流体组分的演化与正向超流体组分的演化不同。然而，由于我们在的区域内的约束，我们无法复制在耦合中观察到的明显峰值。
ESB和SSB的共存和竞争是两者耦合的共同特性，导致在正常状态下出现类似现象，如红外中峰和低频交流电导率下降。在超流相中，随量规-轴子耦合运行的能隙是量规-轴子耦合的另一个共同特征。然而，我们发现了耦合模型在超流阶段的独特行为。具体来说，在低频下观察到明显的类似硬间隙的行为，这与耦合模型中观察到的不同。这种差异可归因于它们耦合机制的差异。下一步自然是将我们的研究扩展到有限动量下的标准-轴子耦合系统，这将使我们能够进一步研究和耦合之间的差异。我们将在以后的研究中再次讨论这个问题。
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