1843年10月16日，爱尔兰数学家威廉·罗文·汉密尔顿在都柏林皇家运河边散步时突然顿悟。他非常兴奋，拿出小刀，当场就把他的发现刻在了布鲁姆桥上。
这是数学史上最著名的涂鸦，但它看起来相当低调：
I2=j2=k2=ijk=-1
然而，汉密尔顿的发现改变了数学家表示信息的方式。这反过来又使无数的技术应用变得更加简单——从设计桥梁、核磁共振成像仪或风力涡轮机时的力计算，到为搜索引擎编程和为火星上的探测车定位。那么，这个著名的涂鸦是什么意思呢？
汉密尔顿试图解决的数学问题是如何在三维空间中表示不同方向之间的关系。方向在描述力和速度时很重要，但汉密尔顿对3D旋转也很感兴趣。
数学家们已经知道如何用x、y和z等坐标来表示物体的位置，但要弄清楚当你旋转物体时这些坐标发生了什么，需要复杂的球面几何。汉密尔顿想要一种更简单的方法。
他的灵感来自于一种表示二维旋转的非凡方法。诀窍是使用所谓的“复数”，它有一个“实”部和一个“虚”部。虚部是数字i的倍数，即“-1的平方根”，由等式i2=-1定义。
到19世纪初，包括让·阿冈和约翰·沃伦在内的几位数学家发现，复数可以用平面上的一个点来表示。沃伦还证明，在这个新的复平面上旋转一条线90度在数学上是很简单的，就像把时针从下午12:15调到中午12点一样。因为这就是当你把一个数乘以i的结果。
汉密尔顿对复数和几何之间的联系印象深刻，并开始尝试在三维空间中进行研究。他想象了一个三维复平面，在第二个虚数j的方向上有第二个虚轴，垂直于另外两个轴。
他花了好几个月的时间才意识到，如果他想把二维旋转的i乘法扩展，他需要四维复数，还有第三个虚数k。
在这个四维数学空间中，k轴垂直于其他三个轴。k不仅由k2=-1定义，它的定义也需要k=ij=-ji。（结合这两个方程得到k=-1。）
把所有这些放在一起得到i2=j2=k2=ijk=-1，这个启示就像布鲁姆桥上的一道闪电一样击中了汉密尔顿。
汉密尔顿把他的四维数称为“四元数”，并用它们来计算三维空间中的几何旋转。这就是今天用来移动机器人或定位卫星的旋转方式。
但是当你只考虑四元数的虚部时，大多数实际的魔法就会出现。因为这就是汉密尔顿所说的“向量”。
矢量同时编码两种信息，最著名的是空间量的大小和方向，如力、速度或相对位置。例如，为了表示对象相对于“原点”（位置轴的零点）的位置（x, y, z）， Hamilton可视化了一个从原点指向对象位置的箭头。箭头表示“位置向量”x i + y j + z k。
这个矢量的“分量”是数字x， y和z——箭头沿着三个轴中的每一个延伸的距离。（其他向量会有不同的分量，取决于它们的大小和单位。）
半个世纪后，古怪的英国电报员Oliver Heaviside帮助开创了现代矢量分析，他用实际的单位矢量i， j， k取代了汉密尔顿的想象框架i， j, k。但无论如何，矢量的分量保持不变，因此箭头和矢量乘法的基本规则也保持不变。
汉密尔顿定义了两种向量相乘的方法。一个产生一个数字（今天称为标量或点积），另一个产生一个向量（称为向量或叉积）。今天，这些乘法在许多应用中突然出现，例如支撑我们所有电子设备的电磁力公式。
汉密尔顿不知道的是，就在三年前，法国数学家奥林德·罗德里格斯（Olinde Rodrigues）在他自己关于旋转的研究中，提出了这些乘积的一个版本。但把罗德里格斯的乘法称为向量的乘积是后见之明。是汉密尔顿把这些分离的分量联系成一个单独的量，即矢量。
其他人，从艾萨克·牛顿到罗德里格斯，都没有一个统一位置或力的组成部分的单一数学对象的概念。（实际上，有一个人也有类似的想法：一个自学成才的德国数学家赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Grassmann），他和汉密尔顿同时独立地发明了一个不那么透明的向量系统。）
汉密尔顿还开发了一种紧凑的符号，使他的方程简洁优雅。他用希腊字母来表示四元数或向量，但今天，在Heaviside之后，通常使用黑体字的拉丁字母。
这种紧凑的符号改变了数学家在三维空间中表示物理量的方式。
以麦克斯韦的一个关于电场和磁场的方程为例：
?x E=-?B/?t
仅用少数几个符号（我们不会进入?/?t和?x的物理含义），这显示了电场矢量(E)如何响应磁场矢量(B)的变化在空间中传播。
如果没有向量符号，这将被写成三个独立的方程（一个代表B和E的每个分量）——每一个都是一堆坐标、乘法和减法。
我之所以选择麦克斯韦的一个方程作为例子，是因为古怪的苏格兰人詹姆斯·克拉克·麦克斯韦是第一个认识到紧矢量符号的力量的主要物理学家。不幸的是，汉密尔顿没能活着看到麦克斯韦的支持。但他从未放弃自己对表示物理量的新方法的信念。
当我在研究我的关于向量的书时，汉密尔顿面对主流排斥的毅力真的打动了我。他希望有一天——“不管什么时候”——他的发现会得到感谢，但这不是虚荣。他设想的可能的应用令人兴奋。
他会欣喜若狂，因为矢量在今天被如此广泛地使用，而且它们既可以表示数字信息，也可以表示物理信息。但他会特别高兴的是，在旋转编程中，四元数仍然是最好的选择——正如NASA和计算机图形程序员所知道的那样。
为了纪念汉密尔顿的成就，数学爱好者们每年的10月16日都会沿着他著名的路线走一遍，以庆祝汉密尔顿日。但我们每天都在使用这些不起眼的涂鸦带来的科技成果。
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